Lecture-3.2-二叉树.md

二叉树及存储结构

二叉树的定义

• 二叉树：一个有穷的结点集合
  这个集合可以为空。
  若不为空，则它是由根节点和称为其左子树和右子树的两个不相交的二叉树组成。

特殊二叉树：

• 斜二叉树
• 完美二叉树（满二叉树）
• 完全二叉树
  有 n 个结点的二叉树，对树中结点按 从上至下、从左到右顺序进行编号， 编号为 $i（1 ≤ i ≤ n）$ 结点与满二叉树 中编号为 $i$ 结点在二叉树中位置相同。

二叉树的几个重要性质

• 一个二叉树第 $i$ 层的最大结点数为： $2^{ i-1}$，i $\ge$ 1。
• 深度为 $k$ 的二叉树有最大结点总数为： $2^{k}$，k $\ge$ 1。
• 对任何非空二叉树 $T$，若 $n_0$ 表示叶结点的个数、$n_2$ 是度为 2 的非叶结点个数，那么两者满足关系 $n_0$ = $n_2$ +1。

二叉树的抽象数据类型定义

类型名称： 二叉树
数据对象集：一个有穷的结点集合。 若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。
操作集： BT $\in\ $BinTree, Item $\in\ $ElementType，重要操作有：
1、Boolean IsEmpty( BinTree BT )： 判别 BT 是否为空；
2、void Traversal( BinTree BT )：遍历，按某顺序访问每 个结点；
3、BinTree CreatBinTree( )：创建一个二叉树。

二叉树的存储结构

顺序存储结构

• 完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储 n个结点的完全二叉树的结点父子关系： 非根结点（序号 $ i > 1$）的父结点的序号是 $ i / 2$; 结点（序号为 $i$ ）的左孩子结点的序号是 $2i$，（若$2 i <= n$，否则没有左孩子）; 结点（序号为 $i$ ）的右孩子结点的序号是 $2i+1$， （若$2 i +1<= n$，否则没有右孩子）;
• 一般二叉树也可以按照完全二叉树的方式来存储，但是会造成空间浪费。

链表存储

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode {
    ElementType Data;
    BinTree Left;
    BinTree Right;
}

Lecture-7 二叉树的遍历

先序遍历

遍历过程为：
① 访问根结点；
② 先序遍历其左子树；
③ 先序遍历其右子树。

中序遍历

遍历过程为：
① 中序遍历其左子树；
② 访问根结点；
③ 中序遍历其右子树。

后序遍历

遍历过程为：
① 后序遍历其左子树；
② 后序遍历其右子树；
③ 访问根结点。

层序遍历

二叉树遍历的核心问题：二维结构的线性化

从结点访问其左、右儿子结点， 访问左儿子后，如果还想访问右儿子那么 需要一个存储结构保存暂时不访问的结点 。

存储结构：堆栈、队列

• 采用顺序存储结构来存储二叉树，往往需要确定二叉树的根节点，其中根节点最明显的特征就是他不是任何节点的儿子，因此我们需要采用一个标记数组来确定其根节点。
• 层序遍历的方法可以使用两个队列，获得根节点后，可以按照从左到右的顺序依次将根节点的儿子压入队列，然后继续向下将儿子的儿子节点压入队列。
• 在上述过程中如果遇到叶节点，直接存入到另外一个队列中，循环结束后，返回依次存放了叶节点的队列，依次输出即可获得层序遍历顺序的叶节点。