Week1-1.md

抽象代数基础：群，环与域

07/10/2021 KevinZonda

基础/Foundation

封闭性/Closure

定义一个二元运算符，接受两个参数，返回一个数字，即

A ∘ B = C

对于上述式得出的元素 C ，应如果与 A, B属于同一集合那么便是封闭性。

Def. <G, ∘>
∀ a, b ∈ G, a ∘ b ∈ G

单位元/Identity Element

对于运算 a ∘ e = a 且 e ∘ a = a 则称 e 为单位元。

并不是所有集合都存在单位元。

Example:

• 对于实数的 + 运算，0为单位元。
  x + 0 = x, 0 + x = x
• 对于实数的 × 运算，1为单位元。
  x × 1 = x, 1 × x = x

逆元/Inverse Element

∀ a ∈ G, ∃a' ∈ G, a' ∘ a = a ∘ a' = e

结合律/Associative

∀ a, b, c ∈ G, a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c

交换律/Commutative

∀ a, b ∈ G, a ∘ b = b ∘ a

零化子/Annihilator

a ∘ 0 = 0 && 0 ∘ a = 0

群类/Group-like

<G, ∘>          +封闭性 → 原群/Magma
原群/Magma      +结合律 → 半群/Semigroup
半群/Semigroup  +单位元 → 幺半群/Monoid
幺半群/Monoid   +逆元   → 群/Group
群/Group        +交换律 → 阿贝尔群/Abelian Group

Type\Ax	封闭性	结合律	单位元	逆元	交换律
原群/Magma	o
半群/Semigroup	o	o
幺半群/Monoid	o	o	o
交换幺半群/Exchange Monoid	o	o	o		o
群/Group	o	o	o	o
阿贝尔群/Abelian Group	o	o	o	o	o

环类/Ring-like

半环/Semiring

<G, +, ∙>

  <G, +> 为交换幺半群
+ <G, ∙> 为幺半群
+ ∙ 对 + 满足分配律
+ 0 · a = a · 0 = 0
= 半环/Semiring

环/Ring

<G, +, ∙>

  <G, +> 为阿贝尔群
+ <G, ∙> 为幺半群
+ ∙ 对 + 满足分配律
= 环/Ring

交换环/Commutative Ring

<G, +, ∙>

  <G, +> 为阿贝尔群
+ <G, ∙> 为幺半群 + [交换律]
+ ∙ 对 + 满足分配律
= 交换环/Exchange Ring

域/Field

<G, +, ∙>

  <G, +> 为阿贝尔群
+ <G, ∙> 为阿贝尔群
+ ∙ 对 + 满足分配律
= 域/Field