-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.21.html
71 lines (61 loc) · 6.81 KB
/
1.21.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Случайные величины, функция распределения и совместное распределение</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Случайная величина, функция распределения и совместное распределение случайных величин</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.20.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.22.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Определение случайной величины</h2>
<p><strong>Случайная величина</strong> — это числовая переменная, значение которой зависит от случайного эксперимента. Она отображает исходы вероятностного пространства в числовые значения. Случайная величина может быть:</p>
<ul>
<li><strong>Дискретной:</strong> принимает конечное или счетное множество значений (например, число выпавших орлов при подбрасывании монеты).</li>
<li><strong>Непрерывной:</strong> принимает любое значение из некоторого интервала на числовой прямой (например, температура в течение дня).</li>
</ul>
<p>Случайная величина обычно обозначается заглавными латинскими буквами (<code>X</code>, <code>Y</code>, <code>Z</code>), а её значения — соответствующими строчными буквами (<code>x</code>, <code>y</code>, <code>z</code>).</p>
<h2>Функция распределения случайной величины</h2>
<p><strong>Функция распределения</strong> случайной величины <code>X</code> (или <em>кумулятивная функция распределения</em>) — это функция, определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное заданному. Функция распределения <code>F(x)</code> для случайной величины <code>X</code> определяется как:</p>
<pre>F(x) = P(X ≤ x)</pre>
<h3>Свойства функции распределения</h3>
<ul>
<li><strong>Невозрастающая:</strong> Функция <code>F(x)</code> возрастает или остаётся постоянной с увеличением <code>x</code>.</li>
<li><strong>Границы:</strong> <code>lim(x → -∞) F(x) = 0</code> и <code>lim(x → +∞) F(x) = 1</code>, то есть вероятность принимает значение от 0 до 1.</li>
<li><strong>Правосторонняя непрерывность:</strong> Функция распределения <code>F(x)</code> непрерывна справа, то есть <code>F(x+) = F(x)</code>.</li>
</ul>
<h2>Совместное распределение случайных величин</h2>
<p><strong>Совместное распределение</strong> описывает поведение двух или более случайных величин, рассматриваемых одновременно. Совместное распределение двух случайных величин <code>X</code> и <code>Y</code> задается функцией совместного распределения <code>F(x, y)</code>, которая определяет вероятность одновременного выполнения неравенств:</p>
<pre>F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)</pre>
<h3>Совместная плотность вероятности</h3>
<p>Для непрерывных случайных величин <code>X</code> и <code>Y</code> совместное распределение задается <strong>совместной плотностью вероятности</strong> <code>f(x, y)</code>, связанной с функцией распределения следующим образом:</p>
<pre>F(x, y) = ∬ f(x, y) dx dy</pre>
<h3>Свойства совместного распределения</h3>
<ul>
<li><strong>Маргинальные распределения:</strong> Вероятностные распределения для каждой из случайных величин <code>X</code> и <code>Y</code> можно получить, интегрируя совместное распределение:
<pre>P(X ≤ x) = ∫ f(x, y) dy</pre>
<pre>P(Y ≤ y) = ∫ f(x, y) dx</pre>
</li>
<li><strong>Независимость случайных величин:</strong> Случайные величины <code>X</code> и <code>Y</code> независимы, если их совместное распределение можно представить как произведение маргинальных распределений:
<pre>f(x, y) = fX(x) * fY(y)</pre>
</li>
</ul>
<h2>Пример</h2>
<p>Пусть случайная величина <code>X</code> — результат подбрасывания игрального кубика (принимает значения от 1 до 6). Функция распределения <code>F(x)</code> будет дискретной и ступенчатой, с вероятностями для каждого значения:</p>
<ul>
<li><code>P(X ≤ 1) = 1/6</code></li>
<li><code>P(X ≤ 2) = 2/6</code></li>
<li>и так далее до <code>P(X ≤ 6) = 1</code>.</li>
</ul>
<h2>Заключение</h2>
<p>Случайные величины и их распределения играют ключевую роль в вероятностном анализе. Функция распределения позволяет описать вероятности случайной величины, а совместное распределение — определить взаимосвязь между несколькими величинами. Эти понятия важны для моделирования сложных случайных процессов в статистике и теории вероятностей.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.20.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.22.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>