-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.29.html
77 lines (67 loc) · 7.02 KB
/
1.29.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Обратная матрица, критерий обратимости, свойства и ранг матрицы</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Обратная матрица, критерий обратимости, свойства и ранг матрицы</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.28.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.30.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Обратная матрица</h2>
<p><strong>Обратная матрица</strong> для квадратной матрицы <code>A</code> — это матрица <code>A⁻¹</code>, такая, что произведение <code>A * A⁻¹</code> даёт единичную матрицу <code>I</code>:</p>
<pre>A * A⁻¹ = I</pre>
<p>Обратная матрица существует только для квадратных матриц, которые являются <em>невырожденными</em> (то есть имеют ненулевой определитель).</p>
<h2>Критерий обратимости матрицы</h2>
<p>Квадратная матрица <code>A</code> размерности <code>n × n</code> является <strong>обратимой</strong>, если:</p>
<ul>
<li>Определитель матрицы <code>A</code> не равен нулю: <code>det(A) ≠ 0</code>.</li>
<li>Ранг матрицы <code>A</code> равен её размерности <code>n</code>, то есть <code>rank(A) = n</code>.</li>
</ul>
<p>Если матрица <code>A</code> вырождена (<code>det(A) = 0</code>), то обратная матрица не существует.</p>
<h2>Свойства обратной матрицы</h2>
<ul>
<li><strong>Обратимость произведения:</strong> Если матрицы <code>A</code> и <code>B</code> обратимы, то их произведение также обратимо, и <code>(A * B)⁻¹ = B⁻¹ * A⁻¹</code>.</li>
<li><strong>Обратная матрица транспонированной:</strong> Обратная матрица для транспонированной матрицы равна транспонированной обратной матрицы: <code>(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ</code>.</li>
<li><strong>Идемпотентность:</strong> Если <code>A</code> обратима, то <code>(A⁻¹)⁻¹ = A</code>.</li>
<li><strong>Обратимость диагональной матрицы:</strong> Для диагональной матрицы <code>D</code> её обратная матрица также является диагональной, при этом каждый элемент <code>dᵢᵢ</code> заменяется на <code>1/dᵢᵢ</code> (при условии, что <code>dᵢᵢ ≠ 0</code>).</li>
</ul>
<h2>Ранг матрицы</h2>
<p><strong>Ранг матрицы</strong> — это максимальное количество линейно независимых строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы <code>A</code> обозначается как <code>rank(A)</code> и характеризует линейную независимость строк и столбцов.</p>
<ul>
<li>Ранг матрицы показывает, сколько линейно независимых строк или столбцов содержится в матрице.</li>
<li>Если ранг матрицы равен её наименьшему размеру (числу строк или столбцов), то матрица имеет <em>полный ранг</em>.</li>
</ul>
<h3>Методы нахождения ранга матрицы</h3>
<ul>
<li><strong>Метод приведения к ступенчатому виду:</strong> Преобразование матрицы элементарными строковыми операциями до треугольного или ступенчатого вида позволяет легко определить ранг как количество ненулевых строк.</li>
<li><strong>Миноры:</strong> Ранг матрицы равен максимальному порядку её ненулевого минора. Этот метод требует проверки всех миноров, что эффективно только для небольших матриц.</li>
</ul>
<h3>Свойства ранга матрицы</h3>
<ul>
<li><strong>Ранг произведения:</strong> Ранг произведения двух матриц не больше минимального ранга из множителей: <code>rank(A * B) ≤ min(rank(A), rank(B))</code>.</li>
<li><strong>Ранг транспонированной матрицы:</strong> Ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы: <code>rank(Aᵀ) = rank(A)</code>.</li>
<li><strong>Сохранение линейной независимости:</strong> Если ранг матрицы равен её числу строк, то её строки линейно независимы; если ранг равен числу столбцов, то её столбцы линейно независимы.</li>
</ul>
<h2>Пример</h2>
<p>Рассмотрим матрицу <code>A</code>:</p>
<pre>A = [1, 2, 3;
0, 1, 4;
0, 0, 5]</pre>
<ul>
<li>Определитель матрицы <code>A</code> равен <code>1 * 1 * 5 = 5 ≠ 0</code>, следовательно, матрица <code>A</code> обратима.</li>
<li>Ранг матрицы <code>A</code> равен 3, так как все строки линейно независимы.</li>
<li>Обратная матрица <code>A⁻¹</code> существует и может быть найдена методом Гаусса или с использованием формул для обратной матрицы.</li>
</ul>
<h2>Заключение</h2>
<p>Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц и имеет множество важных свойств, которые применяются в решении систем линейных уравнений и других задачах линейной алгебры. Ранг матрицы, в свою очередь, характеризует её линейную независимость и является важным показателем структуры матрицы.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.28.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.30.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>