-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.33.html
61 lines (50 loc) · 5.54 KB
/
1.33.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Понятие производной для функций от одной и нескольких переменных</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Понятие производной для функций от одной и нескольких переменных</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.32.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.34.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Производная функции одной переменной</h2>
<p><strong>Производная</strong> функции одной переменной <code>f(x)</code> в точке <code>x₀</code> показывает скорость изменения функции в этой точке. Она определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента:</p>
<pre>f'(x₀) = lim(Δx → 0) (f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx</pre>
<p>Если этот предел существует, то он называется производной функции в точке <code>x₀</code> и обозначается как <code>f'(x₀)</code> или <code>df/dx |<sub>x=x₀</sub></code>.</p>
<h3>Геометрический смысл</h3>
<p>Геометрически производная функции в точке — это угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Чем больше значение производной, тем быстрее изменяется функция.</p>
<h3>Физический смысл</h3>
<p>В физике производная функции положения по времени часто трактуется как скорость, поскольку показывает, как быстро изменяется положение объекта.</p>
<h2>Частные производные функции нескольких переменных</h2>
<p>Для функции нескольких переменных <code>f(x, y, z, ...)</code> производные называются <strong>частными</strong> и показывают скорость изменения функции относительно каждого аргумента при фиксированных значениях остальных.</p>
<h3>Определение частной производной</h3>
<p>Частная производная функции <code>f(x, y)</code> по переменной <code>x</code> при фиксированном <code>y</code> определяется как:</p>
<pre>∂f/∂x = lim(Δx → 0) (f(x + Δx, y) - f(x, y)) / Δx</pre>
<p>Аналогично определяется частная производная по <code>y</code>:</p>
<pre>∂f/∂y = lim(Δy → 0) (f(x, y + Δy) - f(x, y)) / Δy</pre>
<h3>Геометрический смысл частных производных</h3>
<p>Частные производные представляют собой наклон касательной плоскости к графику функции в направлении каждой из переменных. Они показывают, как функция изменяется вдоль каждой из осей координат.</p>
<h2>Градиент функции</h2>
<p>Для функции нескольких переменных <code>f(x, y, z)</code> градиент представляет собой вектор, состоящий из всех частных производных по переменным:</p>
<pre>∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)</pre>
<p>Градиент указывает направление наибольшего увеличения функции и является важным инструментом в оптимизации и анализе многомерных функций.</p>
<h2>Пример</h2>
<p>Рассмотрим функцию <code>f(x, y) = x² + y²</code>.</p>
<ul>
<li>Частная производная по <code>x</code> будет <code>∂f/∂x = 2x</code>.</li>
<li>Частная производная по <code>y</code> будет <code>∂f/∂y = 2y</code>.</li>
</ul>
<p>Градиент функции <code>f(x, y)</code> равен <code>∇f = (2x, 2y)</code>, что указывает направление наибольшего увеличения функции.</p>
<h2>Заключение</h2>
<p>Производная для функции одной переменной показывает, как быстро изменяется функция в данной точке, а для функции нескольких переменных — как она изменяется по отношению к каждой переменной. Частные производные и градиент являются основными инструментами анализа многомерных функций и используются в таких областях, как оптимизация и математическое моделирование.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.32.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.34.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>