-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.39.html
86 lines (70 loc) · 5.68 KB
/
1.39.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Неопределенный интеграл, его свойства и правила интегрирования</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Неопределенный интеграл, его свойства и правила интегрирования</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.38.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.40.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Понятие неопределенного интеграла</h2>
<p><strong>Неопределенный интеграл</strong> функции <code>f(x)</code> — это множество всех первообразных функции <code>f(x)</code>. Если <code>F(x)</code> — первообразная <code>f(x)</code>, то неопределенный интеграл обозначается как:</p>
<pre>∫ f(x) dx = F(x) + C</pre>
<p>где <code>C</code> — произвольная постоянная интегрирования, поскольку производная любой константы равна нулю. Неопределенный интеграл описывает набор функций, каждая из которых является решением задачи интегрирования функции <code>f(x)</code>.</p>
<h2>Основные свойства неопределенного интеграла</h2>
<p>Неопределенный интеграл обладает рядом свойств, которые облегчают процесс интегрирования:</p>
<h3>1. Линейность</h3>
<p>Интеграл суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их интегралов. Константу можно вынести за знак интеграла:</p>
<pre>∫ (a * f(x) + b * g(x)) dx = a * ∫ f(x) dx + b * ∫ g(x) dx</pre>
<p>где <code>a</code> и <code>b</code> — константы.</p>
<h3>2. Интеграл производной</h3>
<p>Интеграл от производной функции <code>F'(x)</code> равен самой функции плюс константа интегрирования:</p>
<pre>∫ F'(x) dx = F(x) + C</pre>
<h3>3. Постоянный множитель</h3>
<p>Константа, умноженная на функцию, интегрируется как произведение этой константы и интеграла функции:</p>
<pre>∫ c * f(x) dx = c * ∫ f(x) dx</pre>
<h2>Основные правила интегрирования</h2>
<p>При интегрировании функций часто применяются следующие основные правила:</p>
<h3>1. Правило интегрирования степенной функции</h3>
<p>Для функции <code>f(x) = xⁿ</code> (где <code>n ≠ -1</code>) неопределенный интеграл равен:</p>
<pre>∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C</pre>
<h3>2. Интеграл от экспоненциальной функции</h3>
<p>Для экспоненциальной функции <code>f(x) = eˣ</code> её интеграл равен:</p>
<pre>∫ eˣ dx = eˣ + C</pre>
<p>Для функции <code>f(x) = aˣ</code> (где <code>a > 0</code>):</p>
<pre>∫ aˣ dx = aˣ / ln(a) + C</pre>
<h3>3. Интеграл от логарифмической функции</h3>
<p>Для функции <code>f(x) = 1/x</code> интеграл равен:</p>
<pre>∫ (1/x) dx = ln|x| + C</pre>
<h3>4. Интегрирование тригонометрических функций</h3>
<ul>
<li><code>∫ sin(x) dx = -cos(x) + C</code></li>
<li><code>∫ cos(x) dx = sin(x) + C</code></li>
<li><code>∫ sec²(x) dx = tan(x) + C</code></li>
<li><code>∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C</code></li>
<li><code>∫ sec(x) * tan(x) dx = sec(x) + C</code></li>
<li><code>∫ csc(x) * cot(x) dx = -csc(x) + C</code></li>
</ul>
<h3>5. Правило интегрирования сложной функции</h3>
<p>Для функции вида <code>f(g(x)) * g'(x)</code> используется правило замены переменной:</p>
<pre>∫ f(g(x)) * g'(x) dx = ∫ f(u) du</pre>
<p>где <code>u = g(x)</code>. Этот метод позволяет упростить интегрирование сложных функций.</p>
<h2>Пример интегрирования</h2>
<p>Рассмотрим функцию <code>f(x) = 3x²</code> и найдем её неопределенный интеграл:</p>
<ul>
<li>Сначала применим правило степенной функции: <code>∫ x² dx = x³ / 3 + C</code>.</li>
<li>Теперь умножим на константу 3: <code>∫ 3x² dx = 3 * (x³ / 3) = x³ + C</code>.</li>
</ul>
<h2>Заключение</h2>
<p>Неопределенный интеграл функции представляет собой семейство всех её первообразных. Основные свойства и правила интегрирования позволяют эффективно находить неопределенные интегралы для различных типов функций.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.38.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.40.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>