-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.40.html
80 lines (67 loc) · 6.9 KB
/
1.40.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Двойные, тройные и криволинейные интегралы</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Двойные, тройные и криволинейные интегралы</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.39.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.41.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Двойные интегралы</h2>
<p><strong>Двойной интеграл</strong> используется для вычисления объема области под поверхностью функции двух переменных <code>f(x, y)</code> над некоторой областью <code>D</code> на плоскости <code>XY</code>. Двойной интеграл записывается в следующем виде:</p>
<pre>∬<sub>D</sub> f(x, y) dA</pre>
<p>где <code>dA</code> представляет элемент площади в области <code>D</code>. Для функции двух переменных <code>f(x, y)</code> двойной интеграл вычисляется как предел суммы значений функции в небольших областях, стремящихся к нулю.</p>
<h3>Применение двойного интеграла</h3>
<ul>
<li>Вычисление объема тела под поверхностью.</li>
<li>Нахождение площади криволинейной области.</li>
<li>Определение центров масс, момента инерции и других физических величин.</li>
</ul>
<h3>Формула для вычисления</h3>
<p>При вычислении двойного интеграла по прямоугольной области <code>D = [a, b] × [c, d]</code> используется следующая формула:</p>
<pre>∬<sub>D</sub> f(x, y) dA = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> ∫<sub>c</sub><sup>d</sup> f(x, y) dy dx</pre>
<h2>Тройные интегралы</h2>
<p><strong>Тройной интеграл</strong> обобщает понятие двойного интеграла для функций трех переменных <code>f(x, y, z)</code> и используется для вычисления объемов и масс в трехмерном пространстве. Тройной интеграл записывается следующим образом:</p>
<pre>∭<sub>V</sub> f(x, y, z) dV</pre>
<p>где <code>dV</code> представляет элемент объема в области <code>V</code> пространства.</p>
<h3>Применение тройного интеграла</h3>
<ul>
<li>Вычисление массы и объема трехмерных тел.</li>
<li>Определение центров масс и моментов инерции для пространственных тел.</li>
<li>Моделирование физических процессов в трехмерном пространстве.</li>
</ul>
<h3>Формула для вычисления</h3>
<p>При вычислении тройного интеграла по прямоугольному параллелепипеду <code>V = [a, b] × [c, d] × [e, f]</code> используется следующая формула:</p>
<pre>∭<sub>V</sub> f(x, y, z) dV = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> ∫<sub>c</sub><sup>d</sup> ∫<sub>e</sub><sup>f</sup> f(x, y, z) dz dy dx</pre>
<h2>Криволинейные интегралы</h2>
<p><strong>Криволинейный интеграл</strong> используется для вычисления интегралов вдоль заданной кривой в пространстве. Для функции <code>f(x, y)</code> и кривой <code>C</code> криволинейный интеграл по длине дуги <code>s</code> записывается как:</p>
<pre>∮<sub>C</sub> f(x, y) ds</pre>
<p>где <code>ds</code> — элемент длины дуги кривой <code>C</code>.</p>
<h3>Криволинейный интеграл первого рода</h3>
<p>Криволинейный интеграл первого рода по кривой <code>C</code> от функции <code>f(x, y)</code> используется для вычисления работы силы или массы вдоль кривой. Он записывается как:</p>
<pre>∮<sub>C</sub> f(x, y) ds = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x(t), y(t)) √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt</pre>
<p>где <code>x = x(t)</code> и <code>y = y(t)</code> задают параметризацию кривой.</p>
<h3>Криволинейный интеграл второго рода</h3>
<p>Криволинейный интеграл второго рода по векторному полю <code>F = (P, Q)</code> и кривой <code>C</code> используется для вычисления работы силы, действующей вдоль кривой. Он записывается как:</p>
<pre>∮<sub>C</sub> P dx + Q dy</pre>
<p>При параметризации <code>C</code> функцией <code>x = x(t)</code> и <code>y = y(t)</code> интеграл второго рода можно записать как:</p>
<pre>∮<sub>C</sub> P dx + Q dy = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> [P(x(t), y(t)) * (dx/dt) + Q(x(t), y(t)) * (dy/dt)] dt</pre>
<h3>Применение криволинейных интегралов</h3>
<ul>
<li>Вычисление работы сил вдоль траекторий.</li>
<li>Расчет циркуляции и потока векторных полей.</li>
<li>Применение в электричестве и магнетизме для вычисления потоков и циркуляции полей.</li>
</ul>
<h2>Заключение</h2>
<p>Двойные и тройные интегралы применяются для нахождения объемов и масс в областях двумерного и трехмерного пространства. Криволинейные интегралы используются для вычисления значений вдоль кривых, таких как работа силы вдоль траектории или циркуляция векторного поля. Эти интегралы широко применяются в физике, инженерии и других областях науки и техники.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.39.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.41.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>