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\section{Theorie}

\subsection{Ablenkung des Strahls im elektrischen Feld}

Bewegt sich ein Elektron im homogenen elektrischen Feld, das von zwei
gegenüberliegenden geladenen Platten mit Potentialdifferenz $U_d$, deren
Ausdehnung im Vergleich zu ihrem Abstand $d$ groß ist, erzeugt wird,
wirkt die konstante Kraft (der elektrische Teil der
sog. \name{Lorentz}-Kraft)
%
\begin{equation}
  \label{eq:force}
  \vec{F} = -e_0 \frac{U_\text{d}}{d} \vec{e}_y
\end{equation}
%
auf das Elektron mit der Ladung $e_0$. Die Kraft wirke parallel zur
$y$-Richtung. Mit \name{Newton}s Bewegungsgleichung
%
\begin{equation}
  \label{eq:newton}
  m_0 \tdd{\vec{r}}{t} = \vec{F} = -e_0 \frac{U_\text{d}}{d} \vec{e}_y
\end{equation}
%
ergibt sich für den Geschwindigkeitsvektor des Elektrons, das zum
Zeitpunkt $t_1$ in das Feld eindringt und es zum Zeitpunkt $t_2$
verläßt, der Term
%
\begin{equation}
  \label{eq:velocity}
  \vec{v} = \td{\vec{r}}{t} = \vec{v}_1 - \frac{e_0}{m_0}\frac{U_\text{d}}{d}
  (t_2-t_1) \vec{e}_y \:.
\end{equation}
%
Hier bezeichnet $\vec{v}_1$ den Geschwindigkeitsvektor des Elektrons zum
Zeitpunkt $t_1$ und $m_0$ dessen Masse.

Sei die Ausdehnung der Platten in $z$-Richtung nun $p$ und in der
Entfernung $L$ stehe ein Schirm mit einer Beschichtung, die beim
Auftreffen des Elektrons leuchtet. So kann die vertikale Ablenkung $D$
(in $y$-Richtung) des Elektrons beim Auftreffen auf den Schirm wie folgt
bestimmt werden.

Nach Verlassen des Feldes zum Zeitpunkt $t_2$ wirkt auf das Elektron
keine Kraft mehr. Es bewegt sich daher gleichförmig und die $y$ und
$z$-Komponenten des Geschwindigkeitsvektors schließen den
Winkel~$\theta$ ein. Für kleine Winkel ist der Fehler gering, wenn
$\tan\theta$ durch $\theta$ ersetzt wird, so daß
%
\begin{equation}
  \label{eq:theta-velocity}
  \frac{v_y}{v_z} = \theta
\end{equation}
%
eine gute Nährung darstellt. In gleicher Weise ergibt sich  auch
%
\begin{equation}
  \label{eq:distance-deflexion}
  \frac{D}{L} = \theta \:.
\end{equation}
%
Die Zeitdifferenz~$\Delta t = t_2-t_1$, die das Elektron benötigt, um
die Platten zu durchqueren kann durch seine Geschwindigkeit in
$z$-Richtung bestimmt werden. Es gilt
%
\begin{equation}
  \Delta t = \frac{p}{v_z} \:.
\end{equation}
%
Wird diese Beziehung in Formel~\eqref{eq:velocity} eingesetzt und
$\langle\vec{v}_1,\vec{e}_y\rangle = 0$ angenommen, so
liest sich die $y$-Komponente jener Gleichung als
%
\begin{equation}
  \label{eq:vel-y-vel-z}
  v_y = - \frac{e_0}{m_0}\frac{U_\text{d}}{d} \frac{p}{v_z} \:.
\end{equation}
%
Mit Gleichung~\eqref{eq:theta-velocity} folgt daraus, daß
%
\begin{equation}
  \label{eq:theta-vel-z}
  \theta = - \frac{e_0}{m_0}\frac{U_\text{d}}{d} \frac{p}{v_z^{\,2}} \:.
\end{equation}
%
Die Verschiebung des Leuchtpunktes durch die Ablenkung des
Elektronenstrahls kann aus Formel~\eqref{eq:distance-deflexion} und
\eqref{eq:theta-vel-z} erhalten werden:
%
\begin{equation}
  \label{eq:deflexion}
  D = L\theta = - \frac{e_0}{m_0}\frac{U_\text{d}}{d} \frac{Lp}{v_z^{\,2}} \:.
\end{equation}
%
In Abschnitt~\ref{sec:erzeugung-elektronenstrahl} wird beschrieben wie
genau die betrachteten Elektronen erzeugt werden und zwischen die
Platten gelangen, in denen sie dann abgelenkt werden. Mithilfe von
Formel~\eqref{eq:acc-volt-vel-z} kann dann $v_z$ aus
\eqref{eq:deflexion} eliminiert werden. Also ist
%
\begin{equation}
  D = - \frac{Lp}{2d} \frac{U_\text{d}}{U_\text{B}} \:,
\end{equation}
%
wobei $U_B$ die Beschleunigungspannung der Elektronenkanone ist.

\subsection{Ablenkung des Strahls im magnetischen Feld}

Im magnetischen Feld wirken Kräfte nur auf bewegte Ladungen. In diesem
Fall sind die bewegten Ladungen Elektronen (Ladung $e_0$ mit Masse
$m_0$), die sich mit Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegen. Im Feld,
beschrieben durch die magnetische Flußdichte $\vec{B}$, wirkt auf sie
der magnetische Teil der sog. \name{Lorentz}-Kraft
%
\begin{equation}
  \label{eq:mag-lorentz-force}
  \vec{F} = e_0 (\vec{v} \times \vec{B}) \:.
\end{equation}
%
Wenn das Magnetfeld homogen, d.\,h. zeitlich und örtlich konstant ist,
und das Koordinatensystem so gewählt ist, daß die Kraft parallel zur
$x$-Achse wirkt, ist
%
\begin{equation}
  \label{eq:mag-induction}
  \vec{B} = \Vert\vec{B}\Vert \,\vec{e}_x \:.
\end{equation}
%
Der Elektronenstrahl trifft nun mit konstanter Geschwindigkeit $\vec{v}
= v_0 \,\vec{e}_z$ in das homogene Magnetfeld. Es wirkt auf ein einzelnes
Elektron in diesem Moment nun die Kraft
%
\begin{equation}
  \label{eq:mag-force}
  \vec{F} = e_0 v_0 \,\Vert\vec{B}\Vert \,\vec{e}_y \:.
\end{equation}
%
Das Elektron bewegt sich also aufgrund der Kraftwirkung auf einer
gekrümmten Bahn parallel zur $yz$-Ebene. Aus
Gl.~\eqref{eq:mag-lorentz-force} ist nun ersichtlich, daß in jedem
Bahnpunkt
%
\begin{equation}
  \langle \vec{F}, \d\vec{s} \,\rangle = 0 \:.
\end{equation}
%
Also steht die Kraft immer senkrecht auf dem Wegelement $\d\vec{s}$ der
Kurve. Die potentielle Energie des Elektrons ändert sich daher nicht.
Wegen der Energie-Erhaltung ist die kinetische Energie ebenfalls
konstant. Da die kin. Energie $T = \frac{1}{2} m_0 \vec{v}^{\,2}$ in
Funktion der Geschwindigkeit steht, muß die Größe $\Vert\vec{v}\Vert$
der Geschwindigkeit ebenfalls konstant sein, d.\,h.
%
\begin{equation}
  \Vert\vec{v}\Vert = v_0,
\end{equation}
%
in jedem Bahnpunkt. Der Krümmungsradius der Bahn ergibt sich dann aus dem
Gleichgewicht von \name{Lorentz}-Kraft und Zentrifugalkraft.
%
\begin{equation}
  \label{eq:traj-radius}
  e_0 v_0 \Vert\vec{B}\Vert = \frac{m_0 \vec{v}^{\,2}}{r} = \frac{m_0
    v_0}{r}
  \iff r = \frac{m_0 v_0}{e_0 \Vert\vec{B}\Vert} \:.
\end{equation}
%
Die rechte Seite der erhaltenen Gleichung ist konstant, also bewegt sich
das Elektron auf einer Kreisbahn.