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<!-- 2024-11-12 Tue 14:49 -->
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<title>“三门游戏”的算法实现与启示</title>
<meta name="author" content="Mian Jie" />
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<div id="content" class="content">
<h1 class="title">“三门游戏”的算法实现与启示</h1>
<div id="table-of-contents" role="doc-toc">
<h2>Table of Contents</h2>
<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc">
<ul>
<li><a href="#org7dfafec">1. 三门游戏</a></li>
<li><a href="#orgac4de30">2. 算法实现</a>
<ul>
<li>
<ul>
<li><a href="#orgb629d46">2.0.1. 不交换</a></li>
<li><a href="#org26557d3">2.0.2. 交换</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org13db497">3. 原理</a></li>
<li><a href="#orgda0ab32">4. 另一种情况</a></li>
<li><a href="#org5d54408">5. 启示</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org7dfafec" class="outline-2">
<h2 id="org7dfafec"><span class="section-number-2">1.</span> 三门游戏</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-1">
<p>
或许你早已听说过“三门游戏”，这是美国电视节目主持人蒙提 · 霍尔，在节目“一锤定音”里向参赛者提出的一个问题。
</p>
<p>
在节目中，蒙提让参赛者在三扇门中选择一扇门，其中只有一扇门后有巨额奖金，另外两扇只有“砰”的一声。参赛者选择一扇门后，蒙提会“砰”的一声打开剩下两扇中的一扇，然后问参赛者是否要用他们最初选中的门与剩下的一扇门交换。
</p>
<p>
你可以动脑筋想想如何选择，才能使获得巨额奖金的概率最大。
</p>
<p>
一种分析是，蒙提打开一扇门后，剩下两扇门存在大奖的概率都是50%，所以用不着交换。
</p>
<p>
你是这么想的吗？接下来我们将用Python模拟这个游戏。
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgac4de30" class="outline-2">
<h2 id="orgac4de30"><span class="section-number-2">2.</span> 算法实现</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-2">
</div>
<div id="outline-container-orgb629d46" class="outline-4">
<h4 id="orgb629d46"><span class="section-number-4">2.0.1.</span> 不交换</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-2-0-1">
<p>
这种情况用算法非常容易实现。模拟一定次数，每次提供三个选择，让巨额奖金随机出现于其中一个，同时随机选择一个，然后验证两者是否相同即可。相同即选中了巨额奖金。
</p>
<div class="org-src-container">
<pre class="src src-python"># 在不交换的情况下
import random
wins = 0 # 胜场
for i in range(5000): # 模拟五千次
gift_num = random.randint(0, 2) # 生成奖金位置
choice_num = random.randint(0, 2) # 参赛者选择
if gift_num == choice_num: # 验证
wins += 1
print(wins / 5000) # 打印概率
</pre>
</div>
<p>
概率约为33%，毕竟是三选一嘛。
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org26557d3" class="outline-4">
<h4 id="org26557d3"><span class="section-number-4">2.0.2.</span> 交换</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-2-0-2">
<p>
这种情况下，算法相对复杂一些，不过只要我们理清思路就可以了。
</p>
<ol class="org-ol">
<li>巨额奖金随机出现于一个位置，参赛者随机选择一个位置。这时会有两种情况：
<ul class="org-ul">
<li>参赛者选到了巨额奖金。显然，交换肯定会失去奖金，算法也就无需继续。</li>
<li>参赛者未选到巨额奖金，交换后仍有机会：</li>
</ul></li>
<li>蒙提“砰”的打开剩下两扇中的一扇门。</li>
<li>观众选择最后一扇门。</li>
</ol>
<p>
接下来是代码：
</p>
<div class="org-src-container">
<pre class="src src-python"># 在交换的情况下
wins = 0
for i in range(5000):
gift_num = random.randint(0, 2) # 生成奖金位置
choice_num = random.randint(0, 2) # 参赛者的最初选择
if choice_num == gift_num:
pass # 选中了大奖后交换必定失败，无需继续
else:
# 生成蒙提打开的门，其非观众打开的门和有大奖的门，用while实现
new_num = random.randint(0, 2)
while new_num in [choice_num, gift_num]:
new_num = random.randint(0, 2)
# 生成参赛者交换后的门，其非最初的选择和蒙提的选择，同样用while实现
final_num = random.randint(0, 2)
while final_num in [choice_num, new_num]:
final_num = random.randint(0, 2)
if final_num == gift_num: # 验证
wins += 1
print(wins / 5000) # 打印概率
</pre>
</div>
<p>
概率约为66%，差不多是不交换的两倍。为什么交换后概率会相差这么大？
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org13db497" class="outline-2">
<h2 id="org13db497"><span class="section-number-2">3.</span> 原理</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-3">
<p>
其实，游戏背后的逻辑很简单。在蒙提总是打开一扇门的前提下，当参赛者第一次选择门时，他赢得大奖的概率是1/3。蒙提“砰”的打开一扇门后，这一概率并没有发生变化，而另外2/3的概率在其余两扇门中。其实蒙提打开一扇无大奖的门已经提供了有用的信息：他帮助在其余两扇门排除了一个选项。也就是说，2/3的概率集中到了最后一扇门中，所以参赛者应该交换！
</p>
<p>
2/3的概率在一扇门中，这似乎有些难以相信，但你不能忘了最初有三个选项。
</p>
<p>
真实节目中的大多数参赛者偏好于选择他们最初选择的门。
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgda0ab32" class="outline-2">
<h2 id="orgda0ab32"><span class="section-number-2">4.</span> 另一种情况</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-4">
<p>
如果蒙提是吝啬的，他可以选择打开或者不打开一扇门（在真实的节目中就是如此）。现在他打开了一扇门并给出了交换的机会，参赛者应该交换吗？
</p>
<p>
在这种情况下，参赛者不应交换！
</p>
<p>
吝啬的蒙提知道大奖的位置并想降低参赛者获胜的概率。如果参赛者未选中，蒙提就不会打开一扇门并提供机会，因为这会提高参赛者获胜的概率，此时蒙提会直接宣布游戏结束；如果参赛者选中了，蒙提提供机会就是为了让参赛者偏离大奖，所以参赛者不应交换！
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org5d54408" class="outline-2">
<h2 id="org5d54408"><span class="section-number-2">5.</span> 启示</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-5">
<p>
如果人们对游戏规则和蒙提的决策过程不是十分清楚，就很容易掉进陷阱里。在真实世界中，我们也需要十分了解游戏规则和其他人的想法，这有助于我们做出好的决策。
</p>
<p>
然而，我们却总是关注不甚重要而忽视重要的信息，这反映了我们”主动意识“的有限性。在生活中，我们大多依靠直觉与记忆行事，这也是我们大脑的主要功能，毕竟思考是件费劲的事。
</p>
<p>
在这种限制条件下，对于不甚重要的小事，无思即行是重要的，这也是培养好习惯的益处所在。但对于重要的决策，有意识的思考是不可或缺的，比如在”三门游戏“的巨额奖金下，这时我们需要注意到我们的”潜意识“忽略的哪些信息，然后重新审慎思考。
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="postamble" class="status">
<p class="date">Date: 2022-04-29 Fri 21:55</p>
<p class="author">Author: Mian Jie</p>
<p class="date">Created: 2024-11-12 Tue 14:49</p>
</div>
</body>
</html>