Teorie nr.1 : definiti distanta pe o multime X, sirul convergent intr-un spatiu metric, functia uniform continua + demonstrati ca in orice corp de numere reale intre doua numere reale a<b exista un numar rational r cu a < r < b
Teorie nr.2 : definiti topologia pe o multime X, functia continua (definitia cu epsilon), sirul cu limita +inifinit + demonstrati ca orice functie injectiva cu proprietatea lui Darboux este strict monotona
Exercitii nr.1 :
1.serie suma din (n^2+n+1)^n / (a*n^2)^n
sa se studieze natura seriei (la nr.2 era o serie asemanatoare, tot cu criteriul radicalului se facea)
2. xn = ((2n+1) / (n+1)) * (-1)^(n*(n+1)/2) + cos(n*pi/2)
limita inferioara, limita superioara + e convergent? e marginit? (iei subsirurile x(4k),x(4k+1),x(4k+2),x(4k+3)) - la nr.2 era tot un sir de genul, dar cu sinus
3.functie continua f: R->R, f(x + 1/n) = f(x) pentru orice x real.
a) sa se demonstreze ca f(m/n) = f(0) pentru orice m intreg si n intreg nenul (faci inductie matematica dupa m pentru f(m/n) si f(-m/n))
b) sa se demonstreze ca f(x) = f(0) pentru orice x real (pentru orice x irational exista un sir de numere rationale care tinde la el si folosesti f(nr. rational) = f(0) si faptul ca f e continua)
la teorie a dat cica "la nr 1: punct izolat, serie convergenta, f contiuna si de dem ca orice f continua e marginita si isi atinge marginile "
Și problemele.
https://www.dropbox.com/s/ue8495zfmn5zg7g/analiza_2011_1.jpg?dl=0
Model de examen (2008)
Teorie (45 min):
- Definiti relatia de ordine
- Definiti vecinatatea intr-un spatiu topologic
- Definiti convergenta intr-un spatiu metric
- Demonstrati urmatoarea teorema: "Un sir de numere reale monoton si marginit este convergent" (Weierstrass)
Exercitii (45 min):
-
Calculati limita sirului: xn = n^4 / (2n)!
-
Studiati natura seriei suma(xn), cu: xn = 2^n * n! / n^n.
-
Determinati aderenta multimii A=(-2,3]