**算术平均数是在等精度测量的前提下的最佳值。 **
假设观测值是$x_i$，预期的估计值是$x$，如果认为$\Sigma(x_i-x)^2$最小就达到最佳，显然最小值应该在导数为0时：
$$2\Sigma(x_i-x)=0$$即
$$x=\frac{\Sigma x_i}{n}$$
平均值的误差等于标准差除以$\sqrt{n}$；物理实验的测量是有限次的，平均值不是真值，所以计算标准差要用样本标准差公式（也就是贝塞尔公式），而不能用总体标准差公式。
真值：$x_t$，
$n$次测量：$x_i$，
均值：$\overline{x}=\frac{\Sigma x_i}{n}$
残差：$v_i=x_i-\overline{x}$
误差可以表示为下面的式一：
$$\delta_i=x_i-x_t=x_i-\overline{x}+\overline{x}-x_t=v_i+\delta_{\overline{x}}$$
上式说明每次测量的误差等于每次的残差加均值的误差。
$$\delta_{\overline{x}} = \overline{x} - x_t = \frac{\Sigma x_i}{n} - x_t = \frac{\Sigma x_i - nx_t}{n} = \frac{\Sigma(x_i-x_t)}{n}=\frac{\Sigma \delta_i}{n}$$
对上式变形：
$$\delta^2_\overline{x} = \frac{\Sigma\delta^2_i+2\Sigma\delta_i\delta_j}{n^2} \approx \frac{\Sigma\delta^2_i}{n^2}\equiv\frac{\sigma^2}{n}$$
上式中的$\sigma$便定义为标准差，这个式子同时也证明了标准差除以$\sqrt{n}$是平均值的误差。
上式中最后一个等号也被称为“总体的标准差公式”。如果测量是大量的，就可以认为平均值等于真值，误差$\delta_i$就能够计算，方能使用此公式。本课程的测量不会是大量的，所以不能使用这个总体的标准差公式，而要用下面推导的贝塞尔公式。
上式代入之前的式一，进一步推导：
$$\sigma^2 \equiv \frac{\Sigma\delta_i^2}{n}$$
$$\sigma^2 = \frac{\Sigma(v_i + \delta_\overline{x})^2}{n} =\frac{\Sigma v_i^2}{n}+2\delta_x\overline{x}\frac{\Sigma v_i}{n} + \delta^2_\overline{x}$$
因为$\Sigma v_i = 0$，所以可以进一步推导：
$$\sigma^2=\frac{\Sigma v_i^2}{n} + \delta^2_\overline{x}$$
再用总体的标准差公式（即上面的$\delta^2_\overline{x} =\frac{\sigma^2}{n}$）：
$$\sigma^2=\frac{\Sigma v_i^2}{n} + \frac{\sigma^2}{n}$$
最终就可以得到样本的标准差公式（贝塞尔公式）：
$$\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma v_i^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{\Sigma (x_i-\overline{x})^2}{n-1}}$$