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다이나믹 프로그래밍
2024년 5월 1일 16:30:30
6개의 문자 ‘(’, ‘)’, ‘{’, ‘}’, ‘[’, ‘]’ 로 이루어진 올바른 괄호 문자열 W에 대하여 정수의 ‘괄호값’을 지정하는 함수 val(W)가 정의되어 있다. 먼저 올바른 괄호 문자열부터 정의해보자.
한 쌍의 괄호로 구성된 길이 2인 문자열, 즉 ‘()’, ‘[]’, ‘{}’은 모두 올바른 괄호 문자열이다. 이것을 단위 괄호라고 한다. X, Y가 올바른 괄호 문자열인 경우, 아래와 같은 작업을 통하여 만들어지는 새로운 문자열은 모두 올바른 괄호 문자열이 된다.
XY// 올바른 두 괄호 문자열의 접합(concatenation).(X),{X},[X]// 올바른 괄호 문자열 전체를 다시 괄호로 감쌈.
올바른 괄호 문자열과 아닌 예가 다음에 있다. 단 괄호 문자 사이에 공백은 없다.
- 올바른 예:
({}{}[(())]),(()),{}[][(())] - 올바르지 못한 예:
{[(())],(([)])),{{{}}(),)]{}
이제 괄호값 val()의 계산 방법을 설명한다. 3 종류의 단위 괄호 (), {}, []의 괄호값은 각각 1, 2, 3으로 정의되어 있다. 즉 문자열이 X=‘()’, Y=‘{}’, Z=‘[]’이면 val(X) = 1, val(Y) = 2, val(Z) = 3이다. 만일 X, Y가 올바른 문자열이라고 할 때 이 둘을 순차적으로 연결한 문자열 Z=XY의 괄호값은 다음과 같이 계산된다.
- val(
Z) = val(X) + val(Y)
만일 어떤 올바른 문자열 X가 A=‘(X)’, B=‘{X}’, C=‘[X]’와 같이 (), {}, []로 둘러싸여 있을 경우에 A, B, C의 괄호값은 다음과 같이 계산된다.
- val(
A) = 2·val(X), val(B) = 3·val(X), val(C) = 5·val(X)
그런데 괄호값이 k인 문자열은 유일하지 않다. 예를 들어 ‘[]’, ‘{}()’, ‘()()()’ 모두는 괄호값이 3을 가지는 문자열이다. 다음 표는 올바른 괄호 문자열에 대응하는 괄호값 val(X)의 예를 보여준다.
올바른 괄호 문자열 X |
val(X) |
|---|---|
(()()) |
2(1+1) = 4 |
[[[]]] |
3×5×5 = 75 |
[][][]{()} |
3+3+3+3(1) = 12 |
((())[{}])() |
2(2+5×2)+1 = 25 |
올바른 괄호 문자열 X를 숫자로도 표현할 수 있다. 괄호 문자열을 숫자로 바꾸는 방법은 각 괄호 문자에 대하여 아래 표와 같이 1에서 6까지의 숫자로 대치해 십진수로 읽은 값이다.
| 문자 | ( |
) |
{ |
} |
[ |
] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 대치문자 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
괄호 문자열 X를 위에 설명한 방식으로 변환시킨 값을 dmap(X)로 표시한다. 몇몇 올바른 괄호 문자열 X에 대해서 dmap(X)을 나타낸 표가 아래에 있다.
val(R)=3 문자열 |
dmap(R) |
|---|---|
()()() |
121212 |
{}() |
3412 |
(){} |
1234 |
[] |
56 |
val(R)=4 문자열 |
dmap(R) |
({}) |
1342 |
()()()() |
12121212 |
()[] |
1256 |
{}{} |
3434 |
여러분은 주어진 정수 N에 대하여 val(X) = N을 만족하는 올바른 괄호 문자열 중에서 dmap(X) 값이 최소인 X를 찾아서 출력해야 한다. 출력 문자열은 공백 없이 괄호 문자로만 구성되어야 한다.
첫 번째 줄에 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. (1 ≤ T ≤ 100) 두 번째 줄부터 T+1번째 줄까지 한 줄에 하나씩 정수 N이 주어진다. (5 ≤ N ≤ 1,000)
각 테스트케이스마다 val(X) = N을 만족하는 올바른 괄호 문자열 X 중에서 dmap(X)가 최소인 문자열을 찾아서 한 줄에 하나씩 공백 없이 출력한다.