Merge pull request #2 from bdemeshev/master

update_2

chapters/sol_kr_02.tex

@@ -3,6 +3,34 @@
 \thispagestyle{empty}
 \section{Решения контрольной работы 2}
 
+\subsection[2018-2019]{\hyperref[sec:kr_02_2018_2019]{2018-2019}}
+\label{sec:sol_kr_02_2018_2019}
+
+\begin{enumerate}
+\item
+
+\item
+\begin{enumerate}
+    \item Пусть $A$ — количество очков 1-го стрелка, $B$ — количество очков 2-го, тогда $\E(A) = 50 \cdot 0.5 = 25$, $\Var(A) = 50 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5) = 12.5$.
+
+    \[\P(A \ge 15) = \P\biggl(\frac{A - \E(A)}{\sqrt{\Var(A)}} \ge \frac{15 - \E(A)}{\sqrt{\Var(A)}}\biggl) 
+    = \P\biggl(\frac{A - 25}{\sqrt{12.5}} \ge -2.83\biggl)\]
+
+    Согласно ЦПТ, $\frac{A - 25}{\sqrt{12.5}} \sim \cN(0, 1)$, значит $\P\biggl(\frac{A - 25}{\sqrt{12.5}} \ge -2.83\biggl) = 0.9977$
+
+    \item $\P(A > B) = \P(A - B > 0)$.~~Пусть $Z = A - B$.
+
+    \[\E(Z) = \E(A) - \E(B) = 25 - 30 = -5\] 
+
+    \[\Var(Z) = \Var(A) + \Var(B) - 2\cov(A, B) = 12.5 + 12 = 24.5\] 
+
+    \[\P(A - B > 0) = \P(Z > 0) = \P\biggl(\frac{Z + 5}{\sqrt{24.5}} > \frac{5}{\sqrt{24.5}}\biggl) = \P\biggl(\frac{Z + 5}{\sqrt{24.5}} > 1.01\biggl)\]
+
+    Согласно ЦПТ, $\frac{Z + 5}{\sqrt{24.5}} \sim \cN(0, 1)$, значит $\P\Bigl(\frac{Z + 5}{\sqrt{24.5}} > 1.01\Bigl) = 0.1562$
+\end{enumerate}
+
+\end{enumerate}
+
 \subsection[2017-2018]{\hyperref[sec:kr_02_2017_2018]{2017-2018}}
 \label{sec:sol_kr_02_2017_2018}
 

chapters/sol_kr_03.tex

@@ -4,6 +4,61 @@ \section{Решения контрольной номер 3}
 
 \subsection[2018-2019]{\hyperref[sec:kr_03_2018_2019]{2018-2019}}
 \label{sec:sol_kr_03_2018_2019}
+\subsubsection*{Задачи}
+\begin{enumerate}
+
+	%Задача №1
+  \item
+  \item
+  \item
+  \item
+  \item
+	\item 
+	Пусть $X_1, \ldots, X_5$ — цены кокошников. $\E (X_i) = 3500, \Var (X_i) = 500^2 = 250000, \ i = 1, \ldots, 5$.
+
+ Василиса выбирает наугад и равновероятно 3 кокошника, обозначим их цены за $Y_1, Y_2, Y_3$.
+
+Математическое ожидание вырученных Василисой денег равно  
+\[ 
+\E (Y_1 + Y_2 + Y_3) = 
+\E (Y_1)  + \E (Y_2) + \E (Y_3) = 3 \cdot 3500 = 10500.
+\] 
+
+ Аналогично, дисперсия вырученных Василисой денег равна
+
+\[ 
+\Var (Y_1 + Y_2 + Y_3) = \Var (Y_1) + \Var (Y_2) + \Var (Y_3) + 2 \Cov (Y_1, Y_2) + 2 \Cov (Y_1, Y_3) + 2 \Cov (Y_2, Y_3)
+\]
+
+ Найдем ковариации соответствующих случайных величин, используя следующее свойство: 
+ \[ \Cov (X_1, X_1 + X_2 + \ldots + X_5) = 0\]
+
+  Это верно в силу того, что $X_1 + X_2 + \ldots + X_5 = const $
+
+ А так как ковариации $X_1$ со всеми остальными $X_i$ будут одинаковы, то 
+\[  \Cov (X_1, X_1 + X_2 + \ldots + X_5) = \Var (X_1) + 4 \Cov (X_1, X_i) = 0, \] 
+
+ Отсюда получаем 
+\[ \Cov (X_1, X_i) = - \frac{1}{4} \cdot \Var (X_1) \]
+
+Получим: 
+\[
+ \Var (Y_1 + Y_2 + Y_3) = 3 \cdot \Var (Y_1) - 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \Var (Y_1) 
+  = \frac{3}{2}  \Var (Y_1) = \frac{3}{2} \cdot 250000 = 375000 
+ \]
+\item
+\item
+\item
+
+\item
+
+\[
+L(X, \theta)  = f(X_1, \theta) \cdot \ldots \cdot f(X_n, \theta) = \frac{1}{\theta^n}, \text{ если } X_i < \theta \text{ для любого } i 
+\]
+
+Значит $\hat{\theta}$ должна быть наименьшей при которой она ещё остаётся больше каждого $X_i$, $\hat{\theta} = \max\{X_1, \ldots, X_n\}$.
+
+\end{enumerate}
 
 
 \subsection[2017-2018]{\hyperref[sec:kr_03_2017_2018]{2017-2018}}