fix(splay.md): 更正 Splay 树中的复杂度证明 (OI-wiki#6128)

fix(splay.md): correct complexity analysis

docs/ds/splay.md

@@ -326,101 +326,120 @@ void del(int k) {
 
 ## 时间复杂度
 
-在 Splay 树中，由于 **zig** 和 **zag** 操作是对称的，因此我们只需分析 **zig**、**zig-zig** 和 **zig-zag** 三种操作的复杂度。为此，我们采用 **势能分析法**，通过研究势能的变化来推导操作的均摊复杂度。假设对一棵包含 $n$ 个节点的 Splay 树进行了 $m$ 次 splay 操作，可以通过以下定义和性质来进行分析：
+在 Splay 树中，由于 **zig** 和 **zag** 操作是对称的，因此我们只需分析 **zig**、**zig-zig** 和 **zig-zag** 三种操作的复杂度。为此，我们采用 **势能分析法**，通过研究势能的变化来推导操作的均摊复杂度。假设对一棵包含 $n$ 个节点的 Splay 树进行了 $m$ 次 splay 操作，可以通过如下方式进行分析：
 
-**定义**:
+**定义**：
 
 1.  **单个节点的势能**：$w(x) = \log(\text{size}(x))$，其中 $\text{size}(x)$ 表示以节点 $x$ 为根的子树大小。
 
-2.  **整棵树的势能**：$\varphi = \sum w(x)$，即树中所有节点势能的总和，初始势能满足 $\varphi(0) \leq n \log n$。
+2.  **整棵树的势能**：$\varphi = \sum w(x)$，即树中所有节点势能的总和，初始势能满足 $\varphi_0 \leq n \log n$。
 
-3.  **第 $i$ 次操作的均摊成本**：$c_i = t_i + \varphi(i) - \varphi(i-1)$，其中 $t_i$ 为实际操作代价，$\varphi(i)$ 和 $\varphi(i-1)$ 分别为操作后和操作前的势能。
+3.  **第 $i$ 次操作的均摊成本**：$c_i = t_i + \varphi_i - \varphi_{i-1}$，其中 $t_i$ 为实际操作代价，$\varphi_i$ 和 $\varphi_{i-1}$ 分别为操作后和操作前的势能。
 
-**性质**:
+**性质**：
 
-1.  如果 $fa$ 是 $x$ 的父节点，则有 $w(fa) \geq w(x)$，即父节点的势能不小于子节点的势能。
+1.  如果 $p$ 是 $x$ 的父节点，则有 $w(p) \geq w(x)$，即父节点的势能不小于子节点的势能。
 2.  由于根节点的子树大小在操作前后保持不变，因此根节点的势能在操作过程中不变。
-3.  如果 $fa$ 的两个子节点分别是 $x$ 和 $y$，那么有 $2w(fa) - w(x) - w(y) \geq 2$
+3.  如果 $\text{size}(p)\ge\text{size}(x)+\text{size}(y)$，那么有 $2w(p) - w(x) - w(y) \geq 2$。
 
 ??? note "性质 3 的证明"
-    1.  设 $\text{size}(fa) = z$，$\text{size}(x) = y$，$\text{size}(y) = x$，则有 $z = x + y + 1$。
-    2.  因此，$2w(fa) - w(x) - w(y) = \log z^2 - \log y - \log x = \log \frac{z^2}{x \cdot y}$。
-    3.  带入 $z = x + y + 1$，可以推导出：$\log \frac{(x + y + 1)^2}{x \cdot y} > \log \frac{(x + y)^2}{x \cdot y} \geq \log 4 = 2$。
+    根据均值不等式可知
 
-接下来，分别对 **zig**、**zig-zig** 和 **zig-zag** 操作进行势能分析。
+    $$
+    \begin{aligned}
+    2w(p) - w(x) - w(y) 
+    &= \log\dfrac{\text{size}(p)^2}{\text{size}(x)\cdot\text{size}(y)} \\
+    &> \log\dfrac{\left(\text{size}(x)+\text{size}(y)\right)^2}{\text{size}(x)\cdot\text{size}(y)} \\
+    &\ge \log 4 \\
+    &= 2.
+    \end{aligned}
+    $$
 
-**Zig**：根据性质 1 和 2，有 $w(fa) = w'(x)$，且 $w'(x) \geq w'(fa)$。由此，均摊成本为：
+接下来，分别对 **zig**、**zig-zig** 和 **zig-zag** 操作进行势能分析。设操作前后的节点 $x$ 的势能分别是 $w(x)$ 和 $w'(x)$。节点的记号与 [上文](#splay-操作) 一致。
+
+**zig**：根据性质 1 和 2，有 $w(p) = w'(x)$，且 $w'(x) \geq w'(p)$。由此，均摊成本为
 
 $$
 \begin{aligned}
-c_i &= 1 + w'(x) + w'(fa) - w(x) - w(fa)\\
-&= 1 + w'(fa) - w(x)\\
-&\leq 1 + w'(x) - w(x)
+c_i &= 1 + w'(x) + w'(p) - w(x) - w(p)\\
+&= 1 + w'(p) - w(x)\\
+&\leq 1 + w'(x) - w(x).
 \end{aligned}
 $$
 
-**Zig-Zig**：根据性质 1 和 2，有 $w(g) = w'(x)$，且 $w'(x) \geq w'(fa)$，并且 $w(x) \leq w(fa)$。根据性质 3，可得：
+**zig-zig**：根据性质 1 和 2，有 $w(g) = w'(x)$，且 $w'(x) \geq w'(p)$，$w(x) \leq w(p)$。因为
 
 $$
-2 \cdot w'(x) - w(x) - w'(g) \geq 2
+\begin{aligned}
+\text{size}'(x) 
+&= 3 + \text{size}(A) + \text{size}(B) + \text{size}(C) + \text{size}(D) \\
+&> (1 + \text{size}(A) + \text{size}(B)) + (1 + \text{size}(C) + \text{size}(D)) \\
+&= \text{size}(x) + \text{size}'(g),
+\end{aligned}
 $$
 
-由此，均摊成本为：
+根据性质 3 可得
 
 $$
-c_i = 2 + w'(x) + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) - w(g)
+2 w'(x) - w(x) - w'(g) \geq 2.
 $$
 
-简化后：
+由此，均摊成本为
 
 $$
 \begin{aligned}
-c_i &= 2 + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa)\\
-&\leq 2w'(x) + w'(fa) - 2w(x) - w(fa)\\
-&\leq 3 \cdot (w'(x) - w(x))
+c_i &= 2 + w'(x) + w'(p) + w'(g) - w(x) - w(p) - w(g) \\
+&= 2 + w'(p) + w'(g) - w(x) - w(p) \\
+&\le (2 w'(x) - w(x) - w'(g)) + w'(p) + w'(g) - w(x) - w(p) \\
+&= 2(w'(x)-w(x)) + w'(p) - w(p) \\
+&\le 3(w'(x)-w(x)).
 \end{aligned}
 $$
 
-**Zig-Zag**：根据性质 1 和 2，有 $w(g) = w'(x)$，且 $w(fa) \geq w(x)$。根据性质 3，可得：
-
-$$
-2 \cdot w'(x) - w'(g) - w'(fa) \geq 2
-$$
-
-由此，均摊成本为：
+**zig-zag**：根据性质 1 和 2，有 $w(g) = w'(x)$，且 $w(p) \geq w(x)$。因为 $\text{size}'(x)>\text{size}'(p)+\text{size}'(g)$，根据性质 3，可得
 
 $$
-c_i = 2 + w'(x) + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) - w(g)
+2 \cdot w'(x) - w'(g) - w'(p) \geq 2.
 $$
 
-简化后：
+由此，均摊成本为
 
 $$
 \begin{aligned}
-c_i&= 2 + w'(g) + w'(fa) - w(x) - w(fa)\\
-&\leq 2 \cdot w'(x) - w(x) - w(fa)\\
-&\leq 2 \cdot (w'(x) - w(x))
+c_i &= 2 + w'(x) + w'(p) + w'(g) - w(x) - w(p) - w(g) \\
+&= 2 + w'(p) + w'(g) - w(x) - w(p) \\
+&\le (2w'(x) - w'(g) - w'(p)) + w'(p) + w'(g) - w(x) - w(p) \\
+&= 2w'(x) - w(x) - w(p) \\
+&\le 2(w'(x) - w(x)).
 \end{aligned}
 $$
 
-**总结**:
+**单次 Splay 操作**：
 
-由此可见，三种 splay 步骤的均摊成本全部可以缩放为 $\leq 3(w'(x)−w(x))$. 令 $w^{(n)}(x)=w'^{(n-1)}(x)$,$w^{(0)}(x)=w(x)$, 假设一次 splay 操作依次访问了 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$, 最终 $x_{1}$ 成为根节点，我们可以得到：
+令 $w^{(n)}(x)=(w^{(n-1)})'(x)$ 且 $w^{(0)}(x)=w(x)$。假设一次 splay 操作依次访问了 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 等节点，最终 $x_{1}$ 成为根节点。这必然经过若干次 **zig-zig** 和 **zig-zag** 操作和至多一次 **zig** 操作，前两种操作的均摊成本均不超过 $3(w'(x)-w(x))$，而最后一次操作的均摊成本不超过 $3(w'(x) - w(x))+1$，所以总的均摊成本不超过
 
 $$
-\begin{aligned}
-3\left(\sum_{i=0}^{n-2}\left(w^{(i+1)}(x_{1})-w^{(i)}(x_{1})\right)+w(n)−w^{(n-1)}(x_{1})\right)+1 & = 3(w(n)−w(x_{1}))+1 \\
-& \leq \log n
-\end{aligned}
+3(w^{(n)}(x_1) - w^{(0)}(x_1)) + 1 \le 3\log n + 1.
 $$
 
-继而可得：
+因此，一次 Splay 操作的均摊复杂度是 $O(\log n)$ 的。从而，基于 splay 的插入、查询、删除等操作的时间复杂度也为均摊 $O(\log n)$。
+
+??? info " 为什么 Splay 树的再平衡操作可以获得 $O(\log n)$ 的均摊复杂度？"
+    朴素的再平衡思路就是对节点反复进行旋转操作使其上升，直到它成为根节点。这种朴素思路的问题在于，对于所有子节点都是左（右）节点的链状树来说，它相当于反复进行 **zig** 操作，因而 **zig** 操作的均摊复杂度中的常数项 $1$ 会不断累积，造成最终的均摊复杂度达到 $O(\log n+n)$ 级别。Splay 树的再平衡操作的设计，避免了连续 **zig** 的情形中的常数累积，使得一次完整的 Splay 操作中，至多进行一次单独的 **zig** 操作，从而优化了时间复杂度。
+
+**结论**：
+
+在进行 $m$ 次 Splay 操作之后，实际成本
 
 $$
-\sum_{i=1}^m (\varphi (m-i+1)−\varphi (m−i)) +\varphi (0) = n \log n+m \log n
+\begin{aligned}
+\sum_{i=1}^m t_i &= \sum_{i=1}^m \left(c_i + \varphi_{i-1} - \varphi_i \right) \\
+&= \sum_{i=1}^m c_i + \varphi_0 - \varphi_m \\
+&\le m(3\log n+1) + n\log n.
+\end{aligned}
 $$
 
-因此，对于 $n$ 个节点的 splay 树，做一次 splay 操作的均摊复杂度为 $O(\log n)$。从而基于 splay 的插入，查询，删除等操作的时间复杂度也为均摊 $O(\log n)$。
+因此，$m$ 次 Splay 操作的实际时间复杂度为 $O((m+n)\log n)$。
 
 ## 实现